Несколько столетий назад существовало много этикетных формул для выражения извинений.
Самые распространенные слова - "извините" и "простите". Говорили так: "приношу свои извинения" или "прошу меня простить".
Но значения этих глаголов несколько отличались. Слово "простить" произошло от "простой" в значении "свободный". То есть "простить" в буквальном смысле означало "освободить от долгов или грехов".
А древнерусское слово "извинитися" означало "провиниться" и произошло от слова "вина".
Между этими словами есть разница: извини - это более повседневный, бытовой вариант, а прости (или простите) носит личную, духовно наполненную смысловую нагрузку.
Вот почему извиниться зачастую проще, чем попросить прощения. Извиняются люди за что-то незначительное, а просят прощения чаще всего за серьезные проступки.
Глагол "извиняюсь" - это больше разговорный, просторечный вариант. Его используют в повседневном общении, но никогда не употребляют в серьезных этикетных формулах.
